TRANSFORMASI GEOMETRI (TRANSLASI)

 

TRANSLASI (PERGESERAN/PERPINDAHAN)

 

Translasi adalah perpindahan posisi suatu objek, ukuran dan bentuknya tetap. Jika dinyatakan dalam koordinat Cartesius, translasi merupakan perpindahan titik-titik koordinat suatu objek ke arah dan jarak tertentu. Pada peristiwa translasi ini, ukuran objek tidak mengalami perubahan.

a.    Translasi Titik

Jika titik P yang memiliki koordinat (x, y) ditranslasikan sejauh (a, b), akan dihasilkan titik P’ dengan koordinat (x’, y’). Secara matematis, koordinat akhir pada proses translasi dinyatakan sebagai berikut.

Dengan :

P (x, y)                   =  koordinat titik awalnya;

A                            =  pergeseran pada sumbu-x;

B                            =  pergeseran pada sumbu-y; dan

P((x+a), (y+b))      =  koordinat akhir setelah pergeseran.

Contoh soal

Jika pergeseran mengarah ke sumbu-x positif atau sumbu-y positif, maka pergeserannya bertanda positif. Sebaliknya, jika pergeserannya mengarah ke sumbu-x negatif atau sumbu-x negatif, maka pergeserannya bertanda negatif.

Adapun contoh translasi bisa kamu lihat pada gambar berikut:

Gambar di atas menunjukkan bahwa suatu bangun persegi ABCD mengalami translasi atau pergeseran hingga berada di posisi persegi A’B’C’D’. Lalu, berapakah pergeseran atau perpindahan bangunnya? Untuk tahu jumlah pergeserannya, coba hitung jarak satuan antara bangun ABCD dan A’B’C’D ke arah sumbu-x dan sumbu-y. Dari hasil pengamatan, diperoleh bahwa bangun persegi ABCD bergeser 5 satuan ke arah sumbu-x positif (a = 5) dan 5 satuan ke arah sumbu-y negatif (b = -5).

Setelah tahu pergeserannya, tentukan dahulu koordinat awal setiap titik pada persegi seperti berikut.

Koordinat A = (-3,4)

Koordinat B = (-1, 4)

Koordinat C = (-3, 2)

Koordinat D = (-1, 2)

Terakhir, tentukan koordinat akhir persegi tersebut menggunakan persamaan translasi.

            Koordinat akhir bangun persegi A’B’C’D’.

Ternyata, diperoleh koordinat akhir yang sama kan dengan gambar? Sebenarnya, kamu bisa langsung mengetahui koordinat akhir melalui gambarnya.

Untuk mencari bayangan translasinya jika

b.   Translasi Garis/Kurva

Suatu garis/kurva dapat ditentukan persamaan bayangannya oleh translasi dengan langkah-langkah sebagi berikut:

a)    Misalkan titik (x,y) terletak pada garis, kemudian tentukan bayangan titik tersebut sebagaimana cara menentukan bayangan suatu titik oleh translasi.

b)   Dari persamaan x’ dan y’ yang diperoleh, carilah persamaan x dan y sebagai persamaan baru.

x’ = x + a         dan      y’ = y + b

x  = x’-a                       y  = y’-b

c)    Substitusikan persamaan x dan y ke persamaan kurva/garis, sehingga variabel x dan y pada kurva/garis berubah menjadi x’ dan y’.

Contoh soal:

Garis g: 2x + 4y = 8 ditranslasikan oleh T (-2,3). Bayangan garis g adalah ...

Jawaban:

a)    Misalkan titik (x,y) terletak pada garis g, maka bayangannya :

x’ = x + (-2)              y’ = y + 3

b)   Tentukan persamaan x dan y :

x’ = x – 2       dan      y’ = y + 3

x = x’ + 2                   y  = y’ - 3

c)    Substitusikan persamaan x dan y ke persamaan garis:

2x + 4y = 8

2(x’ + 2) + 4(y’ – 3) = 8

2x’ + 4 + 4y’ – 12    = 8

2x’ + 4y’ – 8            = 8

2x’ + 4y’                   = 8 + 8

2x’ + 4y’                   = 16

Jadi, bayangan garis g adalah 2x + 4y = 16

LATIHAN SOAL DAN PENYELESAIAN

1. Titik A(5,-2) ditranslasikan oleh T(-3,1). Tentukan koordinat bayangan titik A tersebut!

Penyelesaian:

                          Diketahui:

                          x = 5          y = -2

                          a = -3         b = 1

                          Ditanyakan:

                          Koordinat bayangan titik A atau A’ = ...

                          Jawab:

                          A’ = ((x + a), (y + b))

                              = ((5 - 3), (-2 + 1))

    = (2, -1)

2. Jika titik A (5,1) ditranslasi oleh titik T(1,4) dan menghasilkan bayangan A’(x, y), maka nilai dari x + y adalah ...

Penyelesaian:

                          Diketahui:

                          x = 5          y = 1

                          a = 1         b = 4

                          Ditanyakan:

                          Berapa nilai x + y .....

                          Jawab:

                          A’ = ((x + a), (y + b))

                              = ((5 + 1), (1 + 4))

    = (6, 5)

x + y = 6 + 5 = 11

Jadi nilai x + y = 11

3. Titik C ditranslasikan oleh T(-3,4) menghasilkan titik C’ (-2,-1). Koordinat titik C adalah ...

Penyelesaian:

                          Diketahui:

                          x’ = -2          y’ = -1

                          a = -3          b   = 4

                          Ditanyakan:

                          Tentukan titik awal C=...

                          Jawab:

                          C = ((x’ - a), (y’ - b))

                             = ((-2 + 3), (-1 - 4))

   = (1, -5)

Jadi titik awal C adalah  (1, -5)

4. Titik Q’(2,-4) adalah bayangan titik Q(3,5) oleh translasi T, maka translasi T adalah ...

Penyelesaian:

                          Diketahui:

                          x’ = 2          y’ = -4

                          a = 3          b   = 5

                          Ditanyakan:

                          Tentukan translasi T  =...

                          Jawab:

                          T = ((x’ - a), (y’ - b))

                          T = ((2 - 3), (-4 - 5))

T  = (-1, -9)

Jadi translasi titik T adalah (-1, -9)